每日一题[1723]截面分析

如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的一个截面经过顶点 $A,C$ 及棱 $A_1B_1$ 上一个点 $K$，其将正方体分成体积比为 $3:1$ 的两部分，则 $\dfrac{A_1K}{KB_1}$ 的值为_______．

答案    $\sqrt 3$．

解析    延长 $AK,BB_1$ 交于点 $F$，连接 $CF$ 交 $B_1C_1$ 于 $E$，如图．

不妨设正方体的棱长为 $1$，$KB_1=x$，根据题意，$ACEK$ 即题中截面，因此三棱台 $KB_1E-ABC$ 的体积为 $\dfrac 14$．利用 $\triangle A_1AK$ 与 $\triangle FB_1K$ 相似，可得 $FB_1=\dfrac{x}{1-x}$，进而 $FB=\dfrac{1}{x-1}$，又 $F-KB_1E$ 与 $F-ABC$ 的相似比为 $x$，因此

$$\dfrac 13\cdot \dfrac 12\cdot \dfrac1{1-x}\cdot (1-x^3)=\dfrac 14\implies x=\dfrac{\sqrt 3-1}2,$$ 从而 $\dfrac{A_1K}{KB_1}=\dfrac{1-x}x=\sqrt 3$．