每日一题[1721]滑动窗口

对任意闭区间 $I$，用 $M_I$ 表示函数 $y=\sin x$ 在 $I$ 上的最大值．若正数 $a$ 满足 $M_{[0,a]}=2M_{[a,2a]}$，则 $a$ 的值为_______．

答案    $\dfrac{5\pi}6$ 或 $\dfrac{13\pi}{12}$．

解析    若 $a\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right]$，则

$$M_{[0,a]}=\sin a\leqslant M_{[a,2a]},$$ 与题意不符．因此 $a>\dfrac{\pi}2$，此时 $$M_{[0,a]}=2M_{[a,2a]}=1.$$

进而 $[a,2a]$ 的区间长度至多为 $\dfrac{4\pi}3$，因此 $a\in\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{4\pi}3\right)$，进而可得 $[a,2a]\subseteq \left[\dfrac{5\pi}6,\dfrac{13\pi}6\right]$，且 $\dfrac{5\pi}6,\dfrac{13\pi}6$ 中至少有一个在区间 $[a,2a]$ 上，因此 $a=\dfrac{5\pi}6$ 或 $a=\dfrac{13\pi}{12}$．