每日一题[1718]翻译

若对任意 $c\in\mathbb R$，存在 $a,b$，使得 $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c)$ 成立，则称函数 $f(x)$ 满足性质 $T$，下列函数不满足性质 $T$ 的有（        ）

A．$f(x)=\sin(2x+1)$

B．$f(x)=x^3-3x^2+3x$

C．$f(x)={\rm e}^{x+1}$

D．$f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$

答案    ABD．

解析  题中等式即 $f(a)-f'(c)a=f(b)-f'(c)b$，记 $g(x)=f(x)-f'(c)x$，则题意即当 $f'(c)$ 取遍 $f(x)$ 的导函数值域时，$g(x)$ 总存在两个不同的自变量对应相同的函数值．由于 $g(x)$ 的导函数

$$g'(x)=f'(x)-f'(c),g''(x)=f''(x),$$ 于是若 $f''(x)$ 在 $\mathbb R$ 上保号，那么 $x=c$ 是 $g'(x)$ 的变号零点，于是 $g(x)$ 在 $x=c$ 两侧的单调性不一致，因此函数 $f(x)$ 具有性质 $T$．若 $f''(x)$ 有唯一变号零点 $x_0$，那么取 $c=x_0$，那么 $g'(x)$ 在 $\mathbb R$ 上保号，进而函数 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调，因此函数 $f(x)$ 不具有性质 $T$．

选项 A  $f'(x)=2\cos(2x+1)$，$f''(x)=-4\sin(2x+1)$，取 $c=-\dfrac 12$，则 $g(x)=\sin(2x+1)-2x$，此时 $g'(x)=2\cos(2x+1)-2$，因此 $g(x)$ 单调递减，函数 $f(x)$ 不具有性质 $T$．

选项 B  $f'(x)=3x^2-6x+3$，$f''(x)=6x-6$，取 $c=1$，则 $g(x)=(x-1)^3$，此时 $g(x)$ 单调递减，函数 $f(x)$ 不具有性质 $T$．

选项 C   $f'(x)={\rm e}^{x+1}$，$f''(x)={\rm e}^{x+1}$，于是函数 $f(x)$ 具有性质 $T$．

选项 D  $f'(x)=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}$，$f''(x)=\dfrac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}$，取 $c=\dfrac1{\sqrt 3}$，则

$$g(x)=\dfrac{3\sqrt 3(x^3+x)+8}{x^2+1},g'(x)=\dfrac{\left(\sqrt 3x-1\right)^2\left(3x^2+2\sqrt 3x+9\right)}{8\sqrt 3(1+x^2)^2},$$ 因此函数 $g(x)$ 单调递增，函数 $f(x)$ 不具有性质 $T$．

综上所述，选项 ABD 不具有性质 $T$．