每日一题[1713]复数的运算

若 $z\in\mathbb C$，且 $\dfrac{z-1}{z+1}$ 是纯虚数，则 $|z^2+z+3|$ 的最小值是_______．

答案    $\dfrac{\sqrt{33}}3$．

解析    设 $1,-1,z$ 在复平面上的对应点分别为 $A,B,P$，则根据复数除法的几何意义，$\dfrac{z-1}{z+1}$ 是纯虚数即 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上（不包含 $A,B$ 两点），进而 $|z|=1$ 且 ${\rm Im}(z)\ne 0$，因此

$$|z^2+z+3|=|z^2+z+3|\cdot |\overline z|=|z+3\overline z+1|,$$ 设 $z=\cos\theta+{\rm i}\sin\theta$，则 $$|z^2+z+3|=\sqrt{(1+4\cos\theta)^2+(2\sin\theta)^2}=\sqrt{5+12\cos^2\theta+8\cos\theta }\geqslant\sqrt{5-\dfrac 43}=\dfrac{\sqrt {33}}3,$$ 等号当 $\cos\theta=-\dfrac13$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{33}}3$．