每日一题[1708]端点分析

已知 $0<x<\dfrac{\pi}2$．

1、证明：$\tan x+\sin x>2x$．

2、若 $\tan x-x>n(x-\sin x)$，$n\in\mathbb N^{\ast}$ 恒成立，求 $n$ 的最大值．

解析

1、设函数 $f(x)=\tan x+\sin x-2x$，则其导函数

$$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+\cos x-2>\dfrac{1}{\cos x}+\cos x-2>0,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，结合 $f(0)=0$，命题得证．

2、设函数 $g_n(x)=\tan x+n\sin x-(n+1)x$，则其导函数

$$g'_n(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+n\cos x-(n+1),$$ 当 $n=2$ 时，有 $$g_2'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+\cos x+\cos x-3>0,$$ 符合题意． 当 $n=3$ 时，有 $$g_3'(x)=\dfrac{1+3\cos^3x -4\cos^2 x}{\cos^2x},$$ 令 $\cos x=1-t$，则分子为 $-t(3t^2-5t+1)$，于是当 $t\in \left(0,\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}\right)$ 时，$g_3'(x)<0$，因此当 $x\in\left(0,\arccos\dfrac{\sqrt{13}-1}6\right)$ 上，$g_3(x)$ 单调递减，又 $g_3(x)=0$，因此 $g_3(x)<0$，不符合题意． 综上所述，$n$ 的最大值为 $2$．