每日一题[1706]递推模型

抛一枚硬币，每次出现正面得 $1$ 分，出现反面得 $2$ 分，已知投掷这枚硬币得到正、反面的概率都是 $0.5$．

1、求投掷过程中，恰好得 $2$ 分的概率．

2、投掷硬币过程中，恰好得 $n$ 分的概率记为 $p_n$（$n=1,2,\cdots$）． ① 证明：$1-p_n=\dfrac 12p_{n-1}$（$n\geqslant 2$）； ② 求 $p_n$ 的通项公式．

解析

1、根据全概率公式，恰好得 $2$ 分的概率为 $\dfrac 12+\dfrac 12\cdot \dfrac 12=\dfrac 34$．

2、① 在投掷硬币的过程中不得到 $n$ 分只有一种可能：投掷出 $n-1$ 后投掷出 $2$ 分，因此 $$1-p_n=\dfrac 12p_{n-1},n\geqslant 2,$$ 命题得证．

② 根据题意，有 $p_1=\dfrac 12$，且 $$p_n-\dfrac 23=-\dfrac 12\left(p_{n-1}-\dfrac 23\right)\implies p_n=-\dfrac 16\left(-\dfrac 12\right)^{n-1}+\dfrac 23.$$