每日一题[1705]建系设标

四边形 $ABCD$ 中，$AC\perp BD$ 且 $AC=2$，$BD=3$，则 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}$ 的最小值为_______．

答案    $-\dfrac{13}4$．

解析    不妨设 $A(a,0)$，$B(0,b)$，$C(c,0)$，$D(0,d)$，且 $a>c$，$b>d$，则

$$\begin{cases} AC=2,\\ BD=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a-c=2,\\ b-d=3,\end{cases}$$ 此时有 $$\begin{split}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}&=(-a,b)\cdot (-c,d)\\ &=ac+bd\\ &=c(c+2)+d(d+3)\\ &=(c+1)^2+\left(d+\dfrac 32\right)^2-\dfrac{13}4\\ &\geqslant -\dfrac{13}4,\end{split}$$ 等号当 $c=-1$，$d=-\dfrac 32$ 时取得，因此所求最小值为 $-\dfrac{13}4$．