每日一题[1703]中值定理

已知 $0<a<b<\dfrac{\pi}2$，将 $b-a,\sin b-\sin a,\tan b-\tan a$ 从小到大排列的结果是_______．

答案    $\sin b-\sin a,b-a,\tan b-\tan a$．

解析    由于 $(\sin x)'=\cos x$，$(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$，于是根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1,\xi_2\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，使得

$$\begin{cases} \dfrac{\sin b-\sin a}{b-a}=\cos\xi_1<1,\\ \dfrac{\tan b-\tan a}{b-a}=\dfrac1{\cos^2\xi_2}>1,\end{cases}$$ 因此 $$\sin b-\sin a<b-a<\tan b-\tan a.$$