每日一题[1693]半角公式

已知 $\left(\tan\alpha+\dfrac1{\cos\alpha}\right)\left(\tan\beta+\dfrac1{\cos\beta}\right)=1$,则 $\alpha+\beta=$ _______.

答案    $2k\pi$($k\in\bb Z$).

解析    根据题意,有\[\dfrac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot \dfrac{1+\sin\beta}{\cos\beta}=1,\]考虑半角公式,设 $\alpha=\dfrac{\pi}2-x$,$\beta=\dfrac{\pi}2-y$,则\[\dfrac{1}{\tan\dfrac x2\tan\dfrac y2}=1\iff \tan\dfrac x2=\tan\left(\dfrac{\pi}2-\dfrac y2\right),\]于是\[\dfrac x2=\dfrac{\pi}2-\dfrac y2+k\pi,k\in\mathbb Z,\]整理得$\alpha+\beta=2k\pi$($k\in\bb Z$).

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