每日一题[1692]两边夹

已知 $n^3+2n^2+8n-5$ 是一个正整数的立方,则正整数 $n$ 的值可能为_______.

答案    $2,3$.

解析    考虑到\[(n+1)^3-(n^3+2n^2+8n-5)=(n-2)(n-3),\]而当$n=1$时,$n^3+2n^2+8n-5=6$,当$n\ge 4$时,有\[n^3<n^3+2n^2+8n-5<(n+1)^3,\]因此只有当$n=2,3$时,$n^3+2n^2+8n-5$是正整数的立方.

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