每日一题[1694]整除

已知 $a,b\in\mathbb N$,$\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}a$ 为整数,求证:$a,b$ 没有大于 $\sqrt{a+b}$ 的公因数.

解析    根据题意,有\[\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}a\in\mathbb N^{\ast}\implies \dfrac{a^2+b^2+a+b}{ab}\in\mathbb N^{\ast} \implies ab\mid a^2+b^2+a+b,\]设 $(a,b)=d$,则 $d^2\mid ab$,从而\[d^2\mid a^2+b^2+a+b\implies d^2\mid a+b\implies d\leqslant \sqrt{a+b},\]命题得证.

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