每日一题[1692]两边夹

已知 $n^3+2n^2+8n-5$ 是一个正整数的立方，则正整数 $n$ 的值可能为_______．

答案    $2,3$．

解析    考虑到

$$(n+1)^3-(n^3+2n^2+8n-5)=(n-2)(n-3),$$ 而当$n=1$时，$n^3+2n^2+8n-5=6$，当$n\ge 4$时，有 $$n^3<n^3+2n^2+8n-5<(n+1)^3,$$ 因此只有当$n=2,3$时，$n^3+2n^2+8n-5$是正整数的立方．