每日一题[1682]三角循环

给定数列 $\{x_n\}$，$x_1=1$，且 $x_{n+1}=\dfrac{\sqrt3x_n+1}{\sqrt3-x_n}$，则 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=$（       ）

A．$0$

B．$-1$

C．$2+\sqrt3$

D．$-2+\sqrt3$

A

解析    根据题中等式特点，利用三角变形，令 $x_n=\tan a_n$，则

$$x_{n+1}=\tan\left(a_n+\dfrac{\pi}{6}\right)\implies x_{n+6}=x_n,$$ 故数列 $\{x_n\}$ 是周期为 $6$ 的周期数列，且 $$\begin{array}{c|cccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6\\ \hline x_n&1&2+\sqrt 3&-2-\sqrt 3&-1&-2+\sqrt 3&2-\sqrt 3\\ \hline \end{array}$$ 因此 $$x_1+x_2+\cdots+x_6=0,$$ 进而 $$\sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=x_1+x_2+x_3+x_4=0.$$