每日一题[1672]齐次柯西

设 $a,b,c$ 为正实数，且满足 $abc=1$．试证：$\dfrac{1}{a^{3}(b+c)}+\dfrac{1}{b^{3}(c+a)}+\dfrac{1}{c^{3}(a+b)} \geqslant \dfrac{3}{2}$．

解析

根据题意，有

$$\begin{split} LHS&=\sum_{\rm cyc}\dfrac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}\\ &=\sum_{\rm cyc}\dfrac{b^2c^2}{ca+ab}\\ &\geqslant \dfrac{(bc+ca+ab)^2}{(ca+ab)+(ab+bc)+(bc+ca)}\\ &=\dfrac 12(bc+ca+ab)\\ &\geqslant \dfrac 32\sqrt[3]{bc\cdot ca\cdot ab}\\ &=\dfrac 32,\end{split}$$ 原不等式得证．