每日一题[1670]内准圆

设直线 $y = x+\sqrt 2$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）相交于 $M, N$ 两点，且 $OM \perp ON$（其中 $O$ 为原点），若 $MN = \sqrt 6$，求椭圆的方程．

答案    $\dfrac{x^2}{4+2\sqrt 2}+\dfrac{y^2}{4-2\sqrt 2}=1$．

解析    原点 $O$ 到直线 $y=x+\sqrt 2$ 的距离为 $1$，根据椭圆的内准圆性质，有

$$\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}=1,$$ 其中 $b^2<2$．联立直线方程与椭圆方程，可得 $$\left(\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\right)x^2+\dfrac{2\sqrt 2}{b^2}x+\dfrac{2}{b^2}-1=0,$$ 即 $$b^2x^2+2\sqrt 2 x+2-b^2=0,$$ 根据弦长公式，有 $$MN=\sqrt 2\cdot \dfrac{\sqrt{8-4b^2(2-b^2)}}{b^2}=\sqrt 6,$$ 解得 $b^2=4-2\sqrt 2$，进而 $a^2=4+2\sqrt 2$．