每日一题[1667]韦达定理

设 $A,B,C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点，$R$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的半径，求 $R$ 的取值范围．

答案    $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．

解析    设 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$，与抛物线 $y=x^2$ 联立可得

$$(x-a)^2+(x^2-b)^2-R^2=0,$$ 即 $$x^4+(1-2b)x^2-2ax+a^2+b^2-R^2=0,$$ 根据题意，该四次方程有 $3$ 个不相等的实根，因此必然有 $4$ 个实根，设为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，则根据韦达定理，有 $$\sum x_i=0\implies \sum x_i^2+2\sum_{i\ne j}x_ix_j=0,$$ 又根据韦达定理，有 $$2(2b-1)=-2\sum_{i\ne j}x_ix_j=\sum x_i^2>4\sqrt{|x_1x_2x_3x_4|}=4\sqrt{|a^2+b^2-R^2|},$$ 且 $2(2b-1)>0$，从而 $$4(2b-1)^2> 16(a^2+b^2-R^2)\implies R^2>a^2+b-\dfrac14>\dfrac 14\implies R>\dfrac 12.$$ 接下来证明 $R$ 可以取遍区间 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的所有值．取 $C(0,0)$，$A(t,t^2)$，$B(-t,t^2)$，则可得 $\triangle ABC$ 的外心 $P\left(0,\dfrac{t^2+1}2\right)$，当 $t$ 取遍全体非零实数时，$R$ 可以取遍区间 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的所有值． 综上所述，$R$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．