每日一题[1665]糖水不等式

已知 lga+lgb+lgc=0,证明:1<aa+1+bb+1+cc+1<2

解析

根据题意,有 abc=1,且 a,b,c>0

左边不等式    即

1a+1<bb+1+cc+1bc1+bc<2bc+b+c1+bc+b+c,
根据糖水不等式,有
bc1+bc<bc+b+c1+bc+b+c<2bc+b+c1+bc+b+c,
命题得证.

右边不等式    即

aa+1<1b+1+1c+111+bc<2+b+c1+bc+b+c,
根据糖水不等式,有
11+bc<1+b+c1+bc+b+c<2+b+c1+bc+b+c,
命题得证. 综上所述,原不等式得证.

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