每日一题[1665]糖水不等式

已知 $\lg a+ \lg b+\lg c=0$，证明：$1<\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}<2$．

解析

根据题意，有 $abc=1$，且 $a,b,c>0$．

左边不等式    即 $$\dfrac{1}{a+1}<\dfrac b{b+1}+\dfrac c{c+1}\iff \dfrac{bc}{1+bc}<\dfrac{2bc+b+c}{1+bc+b+c},$$ 根据糖水不等式，有 $$\dfrac{bc}{1+bc}<\dfrac{bc+b+c}{1+bc+b+c}<\dfrac{2bc+b+c}{1+bc+b+c},$$ 命题得证．

右边不等式    即 $$\dfrac{a}{a+1}<\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\iff \dfrac{1}{1+bc}<\dfrac{2+b+c}{1+bc+b+c},$$ 根据糖水不等式，有 $$\dfrac{1}{1+bc}<\dfrac{1+b+c}{1+bc+b+c}<\dfrac{2+b+c}{1+bc+b+c},$$ 命题得证． 综上所述，原不等式得证．