每日一题[1663]物以类聚

将 $2,3,4,6,8,9,12,15$ 共 $8$ 个数排成一行，使得任意相邻两个数的最大公约数均大于 $1$，则所有可能的排法数为[[nn]]

A．$720$

B．$1014$

C．$576$

D．$1296$

答案    D．

解析    $8$ 个数可以分为三种类型：$A$ 类为 $2,4,8$；$B$ 类为 $3,9,15$；$C$ 类为 $6,12$，则根据题意，$A$ 类与 $B$ 类不相邻．按除去 $C$ 类数，$A,B$ 两类数的分布讨论．

情形一    $A,B$ 两类数只有 $1$ 个接触点，即 $AAABBB$ 型，此时再按 $A-B$ 由 $1$ 个 $C$ 还是 $2$ 个 $C$ 分隔讨论，可得排法数为

$$2\mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\cdot (2+2\cdot 6)=1008.$$

情形二    $A,B$ 两类数有 $2$ 个接触点，即 $AABBBA$ 型（及其变形），此时排法数为

$$4 \mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\cdot 2=288.$$ 综上所述，所求排法总数为 $1296$．