每日一题[1650]对称设参

如图，边长为 $2$ 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E,F$ 分别是边 $AB,AC$ 上的动点．

1、若 $\angle EDF=120^{\circ}$，求证：$AE+AF$ 为定值．

2、若 $\angle EDF=60^{\circ}$，此时 $AE+AF$ 是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出 $AE+AF$ 的取值范围．

解析

1、设 $\angle EDB=\dfrac{\pi}6+x$，$\angle FDC=\dfrac{\pi}6-x$，其中 $x\in\left(-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}6\right)$，则根据正弦定理，有

$$\begin{split} AE+AF&=4-BE-CF\\ &=4-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}6+x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)}-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}6-x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)}\\ &=4-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}6+x\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}6-x\right)}{\cos x}\\ &=3,\end{split}$$ 命题得证．

2、根据题意，设 $\angle EDB=\dfrac{\pi}3+x$，$\angle FDC=\dfrac{\pi}3-x$，其中 $x\in\left(-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}6\right)$，则根据正弦定理，有

$$\begin{split} AE+AF&=4-BE-CF\\ &=4-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3+x\right)}{\sin\left(\dfrac{2\pi}3+x\right)}-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3-x\right)}{\sin\left(\dfrac{2\pi}3-x\right)}\\ &=4-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3+x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}3-x\right)}-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3-x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}3+x\right)},\end{split}$$ 而其中 $\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3+x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}3-x\right)}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,2\right]$，因此所求的取值范围是 $\left[\dfrac 32,2\right]$．