每日一题[1643]和差化积

设函数 $f_n(x)=1+x+\dfrac {1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac {1}{n!}x^n$．

1、求证：当 $x\in (0,+\infty)$，$n \in \mathbb N^+$ 时，${\mathrm e}^x>f_n(x)$． 设 $x>0$，$n \in \mathbb N^{\ast}$．

2、若存在 $y \in \mathbb R$ 使得 ${\mathrm e}^x=f_n(x)+\dfrac {1}{(n+1)!}x^{n+1}{\mathrm e}^y$．求证：$0<y<x$．

解析

1、设 $g(x)={\rm e}^{-x}f_n(x)$，则 $g(x)$ 的导函数

$$g'(x)={\rm e}^{-x}\cdot \left(-\dfrac 1{n!}x^n\right),$$ 于是函数 $g(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上单调递减，有 $$g(x)<g(0)=1\implies {\rm e}^x>f_n(x).$$

2、

即证明当 $x>0$ 时，有

$$f_n(x)+\dfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}<{\rm e}^x<f_n(x)+\dfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}{\rm e}^x,$$ 根据第 $(1)$ 小题的结果，左边不等式成立．对于右边不等式，设 $$h(x)={\rm e}^{-x}f_n(x)+\dfrac1{(n+1)!}x^{n+1},$$ 则其导函数 $$h'(x)= \dfrac 1{n!}x^n\left(1-{\rm e}^{-x}\right),$$ 于是函数 $h(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上单调递增，有 $$h(x)>g(0)=1\implies f_n(x)+\dfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}{\rm e}^x>{\rm e}^x,$$ 命题得证． 综上所述，原不等式成立．