每日一题[1642]联立与不联立

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,椭圆 $C: \dfrac {x^2}{3}+y^2=1$ 的上顶点为 $A$.不经过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P,Q$ 两点,且 $\overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AQ}=0$.

1、直线 $l$ 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

2、过 $P,Q$ 两点分别作椭圆的切线,两条切线交于点 $B$,求 $\triangle BPQ$ 面积的取值范围.

解析

1、平移坐标系,使 $A$ 为坐标原点,则椭圆方程变为\[C':\dfrac{x'^2}{3}+y'^2+2y'=0,\]设 $P,Q$ 的对应点分别为 $P',Q'$,且 $P'Q':mx'+ny'=1$,化齐次联立可得\[\dfrac{x'^2}{3}+y'^2+2y'(mx'+ny')=0,\]于是由 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}=0$ 可得\[\dfrac 13+1+2n=0\implies n=-\dfrac 23,\]因此直线 $P'Q'$ 过定点 $\left(0,-\dfrac 32\right)$,因此直线 $l$ 过定点 $\left(0,-\dfrac 12\right)$.

2、由于直线 $l$ 过定点 $\left(0,-\dfrac 12\right)$,于是点 $B$ 在定直线 $l_0:y=-2$ 上.作伸缩变换 $x'=x$,$y'=\sqrt 3y$,则椭圆 $C$ 变为 $C':x'^2+y'^2=3$,直线 $l_0$ 变为 $l_0':y'=-2\sqrt 3$.设 $|OB'|=d$,则 $\triangle B'P'Q'$ 的面积\[S'=\sqrt 3\cdot \sqrt{d^2-3}\cdot \left(1-\dfrac 3{d^2}\right),\]其中 $d'$ 的取值范围是 $\left[2\sqrt 3,+\infty\right)$,因此 $S'$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{9\sqrt 3}4,+\infty\right)$,进而 $\triangle BPQ$ 面积的取值范围是 $\left[\dfrac 94,+\infty\right)$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论