每日一题[1643]和差化积

设函数 $f_n(x)=1+x+\dfrac {1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac {1}{n!}x^n$.

1、求证:当 $x\in (0,+\infty)$,$n \in \mathbb N^+$ 时,${\mathrm e}^x>f_n(x)$. 设 $x>0$,$n \in \mathbb N^{\ast}$.

2、若存在 $y \in \mathbb R$ 使得 ${\mathrm e}^x=f_n(x)+\dfrac {1}{(n+1)!}x^{n+1}{\mathrm e}^y$.求证:$0<y<x$.

解析

1、设 $g(x)={\rm e}^{-x}f_n(x)$,则 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)={\rm e}^{-x}\cdot \left(-\dfrac 1{n!}x^n\right),\]于是函数 $g(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上单调递减,有\[g(x)<g(0)=1\implies {\rm e}^x>f_n(x).\]

2、

即证明当 $x>0$ 时,有\[f_n(x)+\dfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}<{\rm e}^x<f_n(x)+\dfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}{\rm e}^x,\]根据第 $(1)$ 小题的结果,左边不等式成立.对于右边不等式,设\[h(x)={\rm e}^{-x}f_n(x)+\dfrac1{(n+1)!}x^{n+1},\]则其导函数\[h'(x)= \dfrac 1{n!}x^n\left(1-{\rm e}^{-x}\right),\]于是函数 $h(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上单调递增,有\[h(x)>g(0)=1\implies f_n(x)+\dfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}{\rm e}^x>{\rm e}^x,\]命题得证. 综上所述,原不等式成立.

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