每日一题[1637]从小到大

求满足 $x^3-x=y^7-y^3$ 的所有质数 $x$ 和 $y$．

答案    $(x,y)=(5,2)$．

解析    根据题意，有

$$x(x+1)(x-1)=y^3(y-1)(y+1)(y^2+1).$$

情形一     $y=2$．此时

$$x(x+1)(x-1)=4\cdot 5\cdot 6,$$ 解得 $x=5$．

情形二     $y=3$．此时

$$x(x+1)(x-1)=2160,$$ 而 $$11\cdot 12\cdot 13=1716<2160<2184=12\cdot 13\cdot 14,$$ 因此该方程无正整数解．

情形三     $y\geqslant 5$．此时有

$$\begin{split} y^7-y^3&\geqslant 5y^6-y^3\\ &\geqslant y^6+20y^5-y^3\\ &\geqslant y^6+6y^5+70y^4-y^3\\ &\geqslant y^6+6y^5+15y^4+274y^3\\ &\geqslant y^6+6y^5+15y^4+20y^3+15y^2+6y+1\\ &=(y+1)^6,\end{split}$$ 因此 $$x^3>x^3-x=y^7-y^3>(y+1)^6\implies x>y^2+2y+1,$$ 这与 $x\mid y^3(y-1)(y+1)(y^2+1)$ 矛盾． 综上所述，满足条件的所有质数 $(x,y)=(5,2)$．