每日一题[1632]固步自封

设数列 $\{a_n\}$ 满足：$|a_{n+1}-2a_n|=2$，$|a_n|\leqslant 2$，$n=1,2,3,\cdots.$ 证明：如果 $a_1$ 为有理数，则从某项后 $\{a_n\}$ 为周期数列．

解析    设 $a_n=\dfrac{b_n}{m}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $b_1\in\mathbb Z$．根据题意，有

$$\left|\dfrac{b_{n+1}}m-\dfrac{2b_n}m\right|=2\iff |b_{n+1}-2b_n|=2m\iff b_{n+1}=2b_n\pm 2m,$$ 于是 $b_n\in\mathbb Z$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），由 $|a_n|\leqslant 2$ 可得 $$-2m\leqslant b_n\leqslant 2m,$$ 因此 $2b_n+2m$ 和 $2b_n-2m$ 有且仅有一个在 $[-2m,2m]$ 内．考虑到区间 $[-2m,2m]$ 内的整数为有限个，因此必然从某项开始 $\{b_n\}$ 为周期数列，此时 $\{a_n\}$ 也为周期数列．