每日一题[1632]固步自封

设数列 $\{a_n\}$ 满足： $|a_{n+1}-2a_n|=2$ ， $|a_n|\leqslant 2$ ， $n=1,2,3,\cdots.$ 证明：如果 $a_1$ 为有理数，则从某项后 $\{a_n\}$ 为周期数列．

解析设 $a_n=\dfrac{b_n}{m}$ （ $n\in\mathbb N^{\ast}$ ），其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $b_1\in\mathbb Z$ ．根据题意，有

| \frac{b_{n + 1}}{m} - \frac{2 b_{n}}{m} | = 2 ⟺ | b_{n + 1} - 2 b_{n} | = 2 m ⟺ b_{n + 1} = 2 b_{n} \pm 2 m,

$\left|\dfrac{b_{n+1}}m-\dfrac{2b_n}m\right|=2\iff |b_{n+1}-2b_n|=2m\iff b_{n+1}=2b_n\pm 2m,$ 于是

b_{n} \in Z

$b_n\in\mathbb Z$ （

n \in N^{*}

$n\in\mathbb N^{\ast}$ ），由

| a_{n} | ⩽ 2

$|a_n|\leqslant 2$ 可得

- 2 m ⩽ b_{n} ⩽ 2 m,

$-2m\leqslant b_n\leqslant 2m,$ 因此

2 b_{n} + 2 m

$2b_n+2m$ 和

2 b_{n} - 2 m

$2b_n-2m$ 有且仅有一个在

[- 2 m, 2 m]

$[-2m,2m]$ 内．考虑到区间

[- 2 m, 2 m]

$[-2m,2m]$ 内的整数为有限个，因此必然从某项开始

{b_{n}}

$\{b_n\}$ 为周期数列，此时

{a_{n}}

$\{a_n\}$ 也为周期数列．

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