每日一题[1629]线面角

已知棱长为 $1$ 的正四面体 $P-ABC$，$PC$ 的中点为 $D$，动点 $E$ 在线段 $AD$ 上，则直线 $BE$ 与平面 $ABC$ 所成的角的取值范围为_______．

答案    $\left[0,\arcsin\dfrac{\sqrt 2}3\right]$．

解析    如图，设 $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow c$，且

$$\overrightarrow{PE}=(1-\lambda)\overrightarrow a+\dfrac{\lambda}2\overrightarrow c\implies \overrightarrow{BE}=(1-\lambda)\overrightarrow a+\dfrac{\lambda}2\overrightarrow c-\overrightarrow b.$$

考虑到平面 $ABC$ 的法向量为 $\overrightarrow n=\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$，则所求角的正弦值

$$\sin\theta=\dfrac{\left|\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow n\right|}{\left|\overrightarrow{BE}\right|\cdot \left|\overrightarrow n\right|}=\sqrt{\dfrac 23}\cdot \dfrac{\lambda}{\sqrt{3\lambda^2-\lambda+4}}=\begin{cases} 0,&\lambda=0,\\ \sqrt{\dfrac 23}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2}{\lambda}-1\right)^2+2}},&\lambda\in (0,1],\end{cases}$$ 于是所求角的取值范围是 $\left[0,\arcsin\dfrac{\sqrt 2}3\right]$．

备注    $E$从$A$运动到$D$时直线$BE$与平面$ABC$所成角的正弦值是单调递增的，但不好说明．如果允许$E$在直线$AD$上运动，那么所求线面角的最大值即平面$ABD$与平面$ABC$的二面角大小．