每日一题[1599]凹凸有致

已知 $a>0$，$f(x)={\ln}(2x+1)+2ax-4a{\mathrm e}^x+4$．

1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的最大值．

2、判断函数 $f(x)$ 零点的个数，并说明理由．

答案    1、$0$；2、$\begin{cases} 2,&a\in (0,1),\\ 1,&a=1,\\ 0,&a\in (1,+\infty).\end{cases}$．

解析

1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}+2-4{\rm e}^x,$$ 注意到 $f'(0)=0$ 且 $f'(x)$ 是 $\left(-\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的单调递减函数，于是 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 12,0\right)$ 上单调递增，在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递减，因此 $f(x)$ 的最大值为 $f(0)=0$．

2、如图，当 $a=1$ 时，函数 $g(x)=\ln(2x+1)+4$ 与函数 $h(x)=4{\rm e}^x-2x$ 的图象相切于 $x=0$ 处，公切线为 $y=2x+4$，根据第 $(1)$ 小题的结果，函数 $f(x)$ 有唯一零点．

当 $a>1$ 时，有 $$a(4{\rm e}^x-2x)>h(x)\geqslant g(x),$$ 于是函数 $f(x)$ 没有零点； 当 $0<a<1$ 时，有 $f(0)<0$，又取 $m=\dfrac{{\rm e}^{-4}-1}2$，则 $$f(m)<\ln(2m+1)+4<0,$$ 取 $n=\dfrac{1+\sqrt{1+8a}}{a}$，则 $$f(n)<2n+2n-4a\cdot \dfrac 12n^2+4=-2an^2+2n+4=0,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $(m,0)$ 和 $(0,n)$ 上都有零点，又 $f'(x)$ 单调，因此 $f(x)$ 至多有 $2$ 个零点，因此此时函数 $f(x)$ 有 $2$ 个零点． 综上所述，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 2,&a\in (0,1),\\ 1,&a=1,\\ 0,&a\in (1,+\infty).\end{cases}$