每日一题[1585]完全平方数

已知无穷数列 $\{x_n\},\{y_n\}$：对任意正整数 $n$，$x_{n+1}=3x_n+2y_n$，$y_{n+1}=4x_n+3y_n$，且 $x_1=3$，$y_1=4$．

1、求证：$\{2x_n^2-y_n^2\}$ 为常数列．

2、分别判断数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 中是否含有整数的立方．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} x_{n+1}=3x_n+2y_n,\\ y_{n+1}=4x_n+3y_n,\end{cases}\implies 2x_{n+1}^2-y_{n+1}^2=2(3x_n+2y_n)^2-(4x_n+3y_n)^2=2,$$ 为常数列，命题得证．

2、不含，只需要证明关于 $x,y$ 的方程 $2x^6-y^2=2$ 和 $2x^2-y^6=2$ 均无正整数解． 对于第一个方程，显然 $y$ 为偶数，设 $y=2z$，则

$$x^6-2z^2=1\iff (x^3-1)(x^3+1)=2z^2,$$ 于是 $x$ 为不小于 $3$ 的奇数，考虑到 $(x^3-1,x^3+1)=2$，于是 $x^3-1=at^3$，其中 $a=1$ 或 $a=2$，且 $t$ 为正整数．进而 $$(x-1)(x^2+x+1)=at^2,$$ 因为 $(x-1,x^2+x+1)=1$ 且 $x-1$ 为偶数，$x^2+x+1$ 为奇数，从而 $x^2+x+1$ 为完全平方数，而 $$x^2<x^2+x+1<(x+1)^2,$$ 矛盾． 对于第二个方程，显然 $y$ 为偶数，设 $y=2z$，则 $$x^2-32z^6=1\iff \dfrac{x-1}2\cdot \dfrac{x+1}2=(2z^2)^3,$$ 于是 $x$ 为不小于 $3$ 的奇数，考虑到 $\left(\dfrac{x-1}2,\dfrac{x+1}2\right)=1$，于是 $\dfrac{x-1}2=t_1^3$，$\dfrac{x+1}2=t_2^3$，其中 $t_1t_2=2z^2$，且 $t_1,t_2\in\mathbb N^{\ast}$，因此 $t_2^3-t_1^3=1$，矛盾． 综上所述，数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 中不含有整数的立方．