每日一题[1553]迈不过去的坎

有多少种方式可以将正整数集合 $\mathbb{N}^{\ast}$ 分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列？（        ）

A．$0$

B．$1$

C．无穷

D．前三个答案都不对

答案       C．

解析       令集合

$$\begin{split} A_1&=\{1\},\\ A_2&=\{2,3\},\\ A_3&=\{4,5,6\},\\ A_4&=\{7,8,9,10\},\\ &\vdots\\ A_n&=\left\{\dfrac{n(n-1)}{2}+1,\dfrac{n(n-1)}{2}+2,\cdots,\dfrac{n(n+1)}{2}\right\},\\ &\vdots\end{split}$$ 则取 $$P=\bigcup_{k=1}^{+\infty}A_{dk},Q=\complement_{\mathbb N^{\ast}}P,$$ 其中 $d\in\mathbb N$ 且 $d\geqslant 2$，则 $P,Q$ 均由若干“簇”组成，且这些“簇”之间的的距离（“坎”）逐渐增大，因此无论无穷等差数列的公差多么大，都必然会出现它迈不过去的“坎”，而根据 $d$ 的任意性，符合题意的划分方式有无数种．