有多少种方式可以将正整数集合 $\mathbb{N}^{\ast}$ 分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列？（ ）
A．$0$
B．$1$
C．无穷
D．前三个答案都不对
答案 C．
解析 令集合\[\begin{split} A_1&=\{1\},\\ A_2&=\{2,3\},\\ A_3&=\{4,5,6\},\\ A_4&=\{7,8,9,10\},\\ &\vdots\\ A_n&=\left\{\dfrac{n(n-1)}{2}+1,\dfrac{n(n-1)}{2}+2,\cdots,\dfrac{n(n+1)}{2}\right\},\\ &\vdots\end{split}\]则取\[P=\bigcup_{k=1}^{+\infty}A_{dk},Q=\complement_{\mathbb N^{\ast}}P,\]其中 $d\in\mathbb N$ 且 $d\geqslant 2$，则 $P,Q$ 均由若干“簇”组成，且这些“簇”之间的的距离（“坎”）逐渐增大，因此无论无穷等差数列的公差多么大，都必然会出现它迈不过去的“坎”，而根据 $d$ 的任意性，符合题意的划分方式有无数种．