设曲线 C:|x2−16y|=256−16|y| 所围成的封闭区域为 D.
1、 求区域 D 的面积.
2、设过点 M(0,−16) 的直线与曲线 C 交于 P,Q,求 |PQ| 的最大值.
解析
1、根据题意,有{x2−16y⩾0,y⩾0,x2=256,∨{x2−16y⩾0,y<0,x2−16y=256+16y,∨{x2−16y⩽0,y⩾0,−x2+16y=256−16y,即{0⩽y⩽x216,x=±16,∨{y<0,y=x232−8,∨{y⩾x216,y=x232+8, 如图,为区域 D,其面积为 512.
2、设直线 PQ:y=kt−16,则考虑直线 PQ 与曲线 C 的位置关系,可得讨论分分界点为 |k|=1,2,如图.
当 1⩽|k|⩽2 时,有|PQ|=16√1+k2⋅(1−(k−√k2−1))=16√1+k2⋅(1−1k+√k2−1),于是 |PQ| 随 |k| 的增大而增大.当 |k|⩾2 时,有|PQ|=16√1+k2⋅(√k2−1−√k2−3)=32√1−2k2+1+√1−4k2+1,于是 |PQ| 随着 |k| 的增大而减小(视 PQ 与 x 轴垂直为 |k|→+∞ 的情形). 综上所述,当 |k|=2 时,|PQ| 取得最大值,为 16√20−10√3.