每日一题[1552]整理根式

设曲线 $C:|x^2-16y|=256-16|y|$ 所围成的封闭区域为 $D$．

1、 求区域 $D$ 的面积．

2、设过点 $M(0,-16)$ 的直线与曲线 $C$ 交于 $P,Q$，求 $|PQ|$ 的最大值．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} x^2-16y\geqslant 0,\\ y\geqslant 0,\\ x^2=256,\end{cases}\lor\begin{cases} x^2-16y\geqslant 0,\\ y<0,\\ x^2-16y=256+16y,\end{cases}\lor \begin{cases} x^2-16y\leqslant 0,\\ y\geqslant 0,\\ -x^2+16y=256-16y,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} 0\leqslant y\leqslant \dfrac {x^2}{16},\\ x=\pm 16,\end{cases}\lor\begin{cases} y<0,\\ y=\dfrac{x^2}{32}-8,\end{cases}\lor \begin{cases} y\geqslant \dfrac{x^2}{16},\\ y=\dfrac{x^2}{32}+8,\end{cases}$$ 如图，为区域 $D$，其面积为 $512$．

2、设直线 $PQ:y=kt-16$，则考虑直线 $PQ$ 与曲线 $C$ 的位置关系，可得讨论分分界点为 $|k|=1,2$，如图．

当 $1\leqslant |k|\leqslant 2$ 时，有

$$|PQ|=16\sqrt{1+k^2}\cdot \left(1-\left(k-\sqrt{k^2-1}\right)\right)=16\sqrt{1+k^2}\cdot \left(1-\dfrac{1}{k+\sqrt{k^2-1}}\right),$$ 于是 $|PQ|$ 随 $|k|$ 的增大而增大．当 $|k|\geqslant 2$ 时，有 $$|PQ|=16\sqrt{1+k^2}\cdot \left(\sqrt{k^2-1}-\sqrt{k^2-3}\right)=\dfrac{32}{\sqrt{1-\dfrac{2}{k^2+1}}+\sqrt{1-\dfrac{4}{k^2+1}}},$$ 于是 $|PQ|$ 随着 $|k|$ 的增大而减小（视 $PQ$ 与 $x$ 轴垂直为 $|k|\to +\infty$ 的情形）． 综上所述，当 $|k|=2$ 时，$|PQ|$ 取得最大值，为 $16\sqrt{20-10\sqrt 3}$．