每日一题[1552]整理根式

设曲线 C:|x216y|=25616|y| 所围成的封闭区域为 D

1、 求区域 D 的面积.

2、设过点 M(0,16) 的直线与曲线 C 交于 P,Q,求 |PQ| 的最大值.

解析

1、根据题意,有{x216y0,y0,x2=256,{x216y0,y<0,x216y=256+16y,{x216y0,y0,x2+16y=25616y,{0yx216,x=±16,{y<0,y=x2328,{yx216,y=x232+8, 如图,为区域 D,其面积为 512

2、设直线 PQ:y=kt16,则考虑直线 PQ 与曲线 C 的位置关系,可得讨论分分界点为 |k|=1,2,如图.

1|k|2 时,有|PQ|=161+k2(1(kk21))=161+k2(11k+k21),于是 |PQ||k| 的增大而增大.当 |k|2 时,有|PQ|=161+k2(k21k23)=3212k2+1+14k2+1,于是 |PQ| 随着 |k| 的增大而减小(视 PQx 轴垂直为 |k|+ 的情形). 综上所述,当 |k|=2 时,|PQ| 取得最大值,为 1620103

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