每日一题[1548]裂项放缩

设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 满足 $x_{n+1}^2\leqslant x_nx_{n+2}$（$n=1,2,\cdots,2016$）和 $\displaystyle \prod \limits_{n=1}^{2018}x_n=1$，证明：$x_{1009}x_{1010}\leqslant1$．

解析       根据题意，有 $x_n$ 与 $x_{n+2}$ 同号，于是 $1009$ 个奇数项同号，$1009$ 个偶数项同号，结合 $\displaystyle \prod \limits_{n=1}^{2018}x_n=1$，可得 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 同号．因此有

$$x_{n+1}^2\leqslant x_nx_{n+2}\implies \dfrac{x_{n+1}}{x_n}\leqslant \dfrac{x_{n+2}}{x_{n+1}},$$ 进而 $$\dfrac{x_2}{x_1}\leqslant \dfrac{x_3}{x_2}\leqslant \cdots\leqslant \dfrac{x_{2018}}{x_{2017}},$$ 因此当 $1\leqslant k\leqslant 1009$ 时，有 $$\dfrac{x_{k+1}}{x_k}\cdots \dfrac{x_{1010}}{x_{1009}} \leqslant \dfrac{x_{1010}}{x_{1009}}\cdots \dfrac{x_{2019-k}}{x_{2018-k}}\iff \dfrac{x_{1010}}{x_k}\leqslant \dfrac{x_{2019-k}}{x_{1009}},$$ 从而 $$x_kx_{2019-k}\geqslant x_{1009}x_{1010},$$ 分别令 $k=1,2,\cdots,1009$，将所得的不等式相乘，可得 $$\prod_{n=1}^{2018}x_n\geqslant \left(x_{1009}x_{1010}\right)^{1009}\implies x_{1009}x_{1010}\leqslant 1,$$ 命题得证．