每日一题[1542]数值估计

设 $a=\sqrt 2$，$b={\rm e}^{\frac 1{\pi}}$，$c={\log_2}3$，则[[nn]]

A．$b<a<c$

B．$a<b<c$

C．$b<c<a$

D．$a<c<b$

答案     A．

解析     先比较 $a,b$，即比较 $2^{\pi}$ 与 ${\rm e}^2$ 的大小，也即比较 $\pi \ln 2$ 与 $2$ 的大小．利用进阶放缩易知

$$\dfrac 23<\ln 2<\dfrac 34,$$ 于是 $\pi\ln 2>2$，于是 $a>b$．

再比较 $a,c$，有

$$c=\dfrac{11}{7}\cdot {\log_{2^{11}}}{3^7}=\dfrac{11}7{\log_{2048}}2187>\dfrac{11}7=\sqrt{\dfrac{121}{49}}>\sqrt 2.$$

综上所述，有 $b<a<c$．

备注     事实上，用类似的方法可以估算出 ${\log_2}3<\dfrac 85$．