每日一题[1540]成双入对

已知关于 $x$ 的实系数方程 $x^2-2x+2=0$ 和 $x^2+2mx+1=0$ 的四个不同的根，在复平面上对应的点共圆，则 $m$ 的取值范围是_______．

答案       $\left\{-\dfrac 32\right\}\cup(-1,1)$．

解析       方程 $x^2-2x+2=0$ 的复根为 $1\pm {\rm i}$，记 $A(1,1)$，$B(1,-1)$，设方程 $x^2+2mx+1=0$ 的两根对应的点分别为 $C,D$，则由于二次方程的虚根共轭出现，因此 $C,D$ 或者关于 $x$ 轴对称，或者为 $x$ 轴上的两点．

情形一       $C,D$ 关于 $x$ 轴对称，即

$$\Delta=4m^2-4<0\implies -1<m<1,$$ 此时 $A,B,C,D$ 为等腰梯形或矩形的四个顶点，符合题意．

情形二       $C,D$ 为 $x$ 轴上的两点．此时设 $A,B,C,D$ 共圆

$$P:(x-a)^2+y^2=(1-a)^2+1,$$ 令 $y=0$，可得 $$x^2-2ax+2a-2=0,$$ 对比系数可得 $$(a,m)=\left(\dfrac 32,-\dfrac 32\right).$$ 综上所述，$m$ 的取值范围是 $\left\{-\dfrac 32\right\}\cup(-1,1)$．