在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
答案 2C31009.
解析 设正 2018 边形的顶点为 Ai(i=1,2,⋯,2018),N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目,M 是此图形中三边颜色不全相等的三角形数目,则M+N=C32018,设 xi 是以顶点 Ai 为端点的红色线段数目,则有2M=2018∑i=1xi(2017−xi)⩽2018⋅1008⋅1009,从而N⩾C32018−1008⋅10092=2C31009.另一方面,N=2C31008 是可以取得的.对于线段 AiAj,若 |AiAj| 不超过 A1A505,则将其染成红色,否则将其染成蓝色.此时 xi=1008(i=1,2,⋯,2018),因此有 N=2C31008.
备注 如图为正 12 边形的染色方案.