每日一题[1539]远交近伐

在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

答案       2C31009

解析       设正 2018 边形的顶点为 Aii=1,2,,2018),N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目,M 是此图形中三边颜色不全相等的三角形数目,则M+N=C32018,xi 是以顶点 Ai 为端点的红色线段数目,则有2M=2018i=1xi(2017xi)从而N\geqslant \mathop{\rm C}\nolimits_{2018}^3-1008\cdot 1009^2=2\mathop{\rm C}\nolimits_{1009}^3.另一方面,N=2\mathop{\rm C}\nolimits_{1008}^3 是可以取得的.对于线段 A_iA_j,若 |A_iA_j| 不超过 A_1A_{505},则将其染成红色,否则将其染成蓝色.此时 x_i=1008i=1,2,\cdots,2018),因此有 N=2\mathop{\rm C}\nolimits_{1008}^3

备注       如图为正 12 边形的染色方案.

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