每日一题[1522]必要条件探路

已知不等式 $3\sin ^2x-\cos ^2x+4a\cos x+a^2 \leqslant 31$ 对一切 $x \in \mathbb R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

答案       $[-4,4]$．

解析       根据题意，有

$$\forall x\in\mathbb R 4\cos^2x-4a\cos x-a^2+28\geqslant 0,$$ 即 $$\forall x\in [-1,1],4x^2-4ax-a^2+28\geqslant 0.$$ 令不等式左侧为函数 $f(x)$，则 $$\begin{cases} f(-1)\geqslant 0,\\ f(1)\geqslant 0,\end{cases} \iff -4\leqslant a\leqslant 4.$$ 又当 $-4\leqslant a\leqslant 4$ 时，考虑函数 $f(x)$ 的对称轴 $x=\dfrac a2$．若 $-2\leqslant a\leqslant 2$，则 $$f\left(\dfrac a2\right)\geqslant 0\iff -\sqrt{14}\leqslant a\leqslant \sqrt{14},$$ 符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-4,4]$．

练习       使不等式 $\sin^2x+a\cos x+a^2\geqslant 1+\cos x$ 对一切 $x\in\mathbb R$ 恒成立的负数 $a$ 的取值范围是_______．

答案       $(-\infty,-2]$．