已知不等式 $3\sin ^2x-\cos ^2x+4a\cos x+a^2 \leqslant 31$ 对一切 $x \in \mathbb R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
答案 $[-4,4]$．
解析 根据题意，有\[\forall x\in\mathbb R 4\cos^2x-4a\cos x-a^2+28\geqslant 0,\]即\[\forall x\in [-1,1],4x^2-4ax-a^2+28\geqslant 0.\]令不等式左侧为函数 $f(x)$，则\[\begin{cases} f(-1)\geqslant 0,\\ f(1)\geqslant 0,\end{cases} \iff -4\leqslant a\leqslant 4.\]又当 $-4\leqslant a\leqslant 4$ 时，考虑函数 $f(x)$ 的对称轴 $x=\dfrac a2$．若 $-2\leqslant a\leqslant 2$，则\[f\left(\dfrac a2\right)\geqslant 0\iff -\sqrt{14}\leqslant a\leqslant \sqrt{14},\]符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-4,4]$．
练习 使不等式 $\sin^2x+a\cos x+a^2\geqslant 1+\cos x$ 对一切 $x\in\mathbb R$ 恒成立的负数 $a$ 的取值范围是_______．
答案 $(-\infty,-2]$．