每日一题[1519]因式分解

a,b,c 均为正实数,求证:a(a2+bc)b+c+b(b2+ca)c+a+c(c2+ab)a+bab+bc+ca.

解析       不考虑 a,b,c 均为正实数,注意到 a+b+c=0 时,有LHSRHS=(a+b+c)2=0,于是代数式m=cyc(a(a2+bc)(c+a)(a+b))(a+b)(b+c)(c+a)cycab包含因式 a+b+c.事实上,有m=cyc(a5+a4ba3b2a2b3+ab4a2b2c)=(a+b+c)(a4+b4+c4a2b2b2c2c2a2)=12(a+b+c)cyc(a2b2)2,因此原不等式得证.

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