设 a,b,c 均为正实数,求证:a(a2+bc)b+c+b(b2+ca)c+a+c(c2+ab)a+b⩾ab+bc+ca.
解析 不考虑 a,b,c 均为正实数,注意到 a+b+c=0 时,有LHS−RHS=−(a+b+c)2=0,于是代数式m=∑cyc(a(a2+bc)(c+a)(a+b))−(a+b)(b+c)(c+a)∑cycab包含因式 a+b+c.事实上,有m=∑cyc(a5+a4b−a3b2−a2b3+ab4−a2b2c)=(a+b+c)(a4+b4+c4−a2b2−b2c2−c2a2)=12(a+b+c)∑cyc(a2−b2)2,因此原不等式得证.