每日一题[1516]反向柯西不等式

设 $x,y\in\mathbb R$，且 ${\log_4}(x+2y)+{\log_4}(x-2y)=1$，则 $x-|y|$ 的最小值是（       ）

A．$\sqrt3$

B．$2$

C．$2\sqrt3$

D．$4$

答案       A．

解析       题中条件即 $$\begin{cases} x+2y>0,\\ x-2y>0,\\ x^2-4y^2=4,\end{cases}\iff x=2\sqrt{1+y^2},$$ 因此 $$x-|y|=2\sqrt{1+y^2}-\sqrt{y^2}\geqslant \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt 3,$$ 等号当 $y^2=\dfrac 13$ 时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 3$．