每日一题[1509]阿波罗尼斯圆

已知圆 $O:x^2+y^2=4$ 与曲线 $C:y=3|x-t|$，$A(m,n)$ 和 $B(s,p)$（$m,n,s,p\in\mathbb N^{\ast}$）为曲线 $C$ 上的两点，使得圆 $O$ 上任意一点到点 $A$ 的距离与到点 $B$ 的距离之比为定值 $k$（$k>1$），求 $t$ 的值．

答案       $\dfrac4 3$．

解析       根据阿波罗尼斯圆的性质，$OB,2,OA$ 成公比为 $k$ 的等比数列，且 $O,B,A$ 三点依次共线，于是

$$\dfrac ms=\dfrac np=k^2,$$ 进而 $$OA^2=m^2+n^2=k^4(s^2+p^2)=4k^2,$$ 于是 $$k^2=\dfrac{4}{s^2+p^2}>1,$$ 从而 $$s^2+p^2<4,$$ 因此 $(s,p)=(1,1)$，进而 $k=\sqrt 2$，$(m,n)=(2,2)$，从而 $$\begin{cases} 1=3|1-t|,\\ 2=3|2-t|,\end{cases}\iff t=\dfrac 43.$$