每日一题[1503]大小擒拿

已知 $x>0$，求证：${\rm e}^x>x^2+x\ln x+1$．

解析      尝试证明一个更强的命题：

$$\forall x>0,{\rm e}^x>2x^2-x+1.$$ 令 $$f(x)={\rm e}^x-2x^2+x-1,$$ 则其导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-4x+1,$$ 其二阶导函数 $$f''(x)={\rm e}^x-4,$$ 于是函数 $f'(x)$ 在 $(0,\ln 4)$ 上单调递减，在 $(\ln 4,+\infty)$ 上单调递增，结合 $$\begin{split} f'\left(\dfrac 12\right)&=\sqrt{\rm e}-1>0,\\ f'(\ln 4)&=5-8\ln 2<0,\\ f'(2)&={\rm e}^2-7>0,\end{split}$$ 可得 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,2\right)$ 上有两个极值点，记为 $x_1,x_2$ 且 $$\dfrac 12<x_1<\ln 4<x_2<2,$$ 则 $x=x_1$ 为极大值点，$x=x_2$ 为极小值点，只需要证明 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 均为正数．事实上，若 ${\rm e}^t-4t+1=0$，则 $$f(t)={\rm e}^t-2t^2+t-1=(4t-1)-2t^2+t-1=(2-t)(2t-1),$$ 而 $x_1,x_2\in\left(\dfrac 12,2\right)$，于是 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 均为正数，命题得证．

备注      先处理对数，再处理指数．