每日一题[1487]等比放缩

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列 $\{a_{n}\}$ 是调和数列，对于各项都是正数的数列 $\{x_{n}\}$，满足 $x_{n}^{a_{n}}=x_{n+1}^{a_{n+1}}=x_{n+2}^{a_{n+2}}$（$n\in\mathbb N^{*}$）．

1、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等比数列．

2、把数列 $\{x_{n}\}$ 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当 $x_{3}=8$，$x_{7}=128$ 时，求第 $m$ 行各数的和；

$$\begin{array}{cccc}\\ x_{1}&&&\\ x_{2}&x_{3}&&\\ x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ x_{7}&x_{8}&x_{9}&x_{10}\\ \cdots&\cdots&&\\ \end{array}$$

3、对于 $(2)$ 中的数列 $\{x_{n}\}$，证明：$\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}<\dfrac{x_{1}-1}{x_{2}-1}+\dfrac{x_{2}-1}{x_{3}-1}+\cdots+\dfrac{x_{n}-1}{x_{n+1}-1}<\dfrac{n}{2}$．

解析

1、因为

$$x_{n}^{a_{n}}=x_{n+1}^{a_{n+1}}=x_{n+2}^{a_{n+2}},$$ 且数列 $\{x_{n}\}$ 中各项都是正数，所以 $$a_{n}\lg x_{n}=a_{n+1}\lg x_{n+1}=a_{n+2}\lg x_{n+2}.$$ 设 $$a_{n}\lg x_{n}=a_{n+1}\lg x_{n+1}=a_{n+2}\lg x_{n+2}=p,$$ 则 $$\dfrac{p}{a_{n}}=\lg x_{n},\dfrac{p}{a_{n+3}}=\lg x_{n+1},\dfrac{p}{a_{n+2}}=\lg x_{n+2},$$ 因为数列 $\{a_{n}\}$ 是调和数列，故 $a_{n}\ne 0$， $$\dfrac{2}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_{n}}+\dfrac{1}{a_{n+2}},$$ 所以 $$\dfrac{2p}{a_{n+1}}=\dfrac{p}{a_{n}}+\dfrac{p}{a_{n+2}},$$ 代入得 $$2\lg x_{n+1}=\lg x_{n}+\lg x_{n+2},$$ 即 $$\lg x_{n+1}^{2}=\lg (x_{n}x_{n+2}),$$ 故 $x_{n+1}^{2}=x_{n}x_{n+2}$，所以数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列．

2、设 $\{x_{n}\}$ 的公比为 $q$，则 $x_{3}q^{4}=x_{2}$，即

$$8q^{4}=128.$$ 由于 $x_{n}>0$，故 $q=2$，于是 $$x_{n}=x_{3}q^{n-3}=8\times 2^{n-3}=2^{n}.$$ 注意到第 $n$ 行共有 $n$ 个数，所以三角形数表中第 $1$ 行至第 $m-1$ 行共含有 $$1+2+3+\cdots+(m-1)=\dfrac{m(m-1)}{2}$$ 个数，因此第 $m$ 行第 $1$ 个数是数列 $\{x_{n}\}$ 中第 $\dfrac{m(m-1)}{2}+1=\dfrac{m^{2}-m+2}{2}$ 项． 故第 $m$ 行各数的和为 $$S_{m}=\dfrac{2^{\frac{m^{2}-m+2}{2}(2^{m}-1)}}{2-1}=2^{\frac{m^{2}+m+2}{2}}(2^{m}-1).$$

3、因为 $x_{n}=2^{n}$，所以

$$\dfrac{x_{k}-1}{x_{k+1}-1}=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k+1}-1}=\dfrac{2^{k}-1}{2\left(2^{k}-\dfrac{1}{2}\right)}<\dfrac{1}{2}.$$ 所以 $$\dfrac{x_{1}-1}{x_{2}-1}+\dfrac{x_{2}-1}{x_{3}-1}+\cdots+\dfrac{x_{n}-1}{x_{n+1}-1}<\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2}=\dfrac{n}{2}.$$ 因为 $$\begin{split}\dfrac{x_{k}-1}{x_{k+1}-1}&=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k+1}-1}\\&=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2(2^{k+1}-1)}\\&=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3\cdot 2^{k}+2^{k}-2}\\ &\geqslant \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2^{k}}(k=1,2,3,\cdots,n),\end{split}$$ 设题中和式为 $M$，则 $$\begin{split}M&=\dfrac{x_{1}-1}{x_{2}-1}+\dfrac{x_{2}-1}{x_{3}-1}+\cdots+\dfrac{x_{n}-1}{x_{n+1}-1}\\&\geqslant \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]\\&=\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{2}\left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]}{1-\dfrac{1}{2}}\\&=\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}\cdot \left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right]\\ &>\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}.\end{split}$$ 因此 $$\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}<\dfrac{x_{1}-1}{x_{2}-1}+\dfrac{x_{2}-1}{x_{3}-1}+\cdots+\dfrac{x_{n}-1}{x_{n+1}-1}<\dfrac{n}{2}.$$