每日一题[1481]函数值系数

已知对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|ax^2+bx+c|\leqslant 1$，求证：对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．

解析      记 $f(x)=ax^2+bx+c$，则

$$\begin{cases} f(-1)=a-b+c,\\ f(0)=c,\\ f(1)=a+b+c,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\dfrac{f(1)+f(-1)-2f(0)}2,\\ b=\dfrac{f(1)-f(-1)}2,\\ c=f(0),\end{cases}$$ 于是 $$\begin{split} |cx^2+bx+a|&=\left|f(0)\cdot x^2 +\dfrac{f(1)-f(-1)}2\cdot x+\dfrac{f(1)+f(1)-2f(0)}2\right|\\ &=\left|\dfrac{x+1}2\cdot f(1)+\dfrac{1-x}2\cdot f(-1)+\left(x^2-1\right)\cdot f(0)\right|\\ &\leqslant \dfrac{|x+1|}2+\dfrac{|1-x|}2+\left|x^2-1\right|\\ &\leqslant \dfrac{x+1}2+\dfrac{1-x}2+1-x^2\\ &=2-x^2\\ &\leqslant 2,\end{split}$$ 命题得证．