每日一题[1480]构造幕布

如图，在单位四面体 $ABCD$ 中，$M,N,K$ 分别在棱 $AB,AD,BD$ 上，满足 $BM=DN=\dfrac 13$，$DK=\dfrac 14$，则面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值为_______．

答案       $\dfrac{\sqrt 6}9$．

解析       如图，设 $MN$ 与 $AK$ 交于点 $G$，$BD$ 中点为 $P$．平面 $ACP$ 与平面 $CMN$ 的交线为 $CO$，其中 $O$ 为底面中心，则 $CMN\perp ACP$．

容易证明 $A$ 在平面 $CMN$ 中的投影为 $O$，于是面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值 $$\cos\theta=\dfrac{S_{\triangle COG}}{S_{\triangle ACG}}=\dfrac{\dfrac 14S_{\triangle CMN}}{\dfrac 23S_{\triangle ACK}}=\dfrac{\dfrac 14\cdot \dfrac{\sqrt 6}9}{\dfrac 23\cdot \dfrac 38}=\dfrac{\sqrt 6}9.$$