每日一题[1479]均分

已知 $100$ 个不大于 $100$ 的正整数 $a_i$ ，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=200$ ，求证：可以从 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 中选出若干个数，它们的和为 $100$ ．

解析若这 $100$ 个数全部相等，则它们均为 $2$ ，命题显然成立．若这 $100$ 个数不全相等，不妨设 $a_1<a_2$ ，考虑如下 $100$ 个数

a_{1}, a_{2}, a_{1} + a_{2}, a_{1} + a_{2} + a_{3}, \dots, a_{1} + a_{2} + \dots + a_{99},

$a_1,a_2,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\cdots,a_1+a_2+\cdots+a_{99},$ 若这

100

$100$ 个数中有

100

$100$ ，则命题成立；否则考虑这些数模

100

$100$ 的余数，根据抽屉原理，必然存在两个数同余，且这两个数不可能为

a_{1}, a_{2}

$a_1,a_2$ ，此时这两个数的差即为一些数的和为

100

$100$ 的例子，命题得证．综上所述，原命题得证．

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