每日一题[1479]均分

已知 $100$ 个不大于 $100$ 的正整数 $a_i$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=200$，求证：可以从 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 中选出若干个数，它们的和为 $100$．

解析    若这 $100$ 个数全部相等，则它们均为 $2$，命题显然成立． 若这 $100$ 个数不全相等，不妨设 $a_1<a_2$，考虑如下 $100$ 个数

$$a_1,a_2,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\cdots,a_1+a_2+\cdots+a_{99},$$ 若这 $100$ 个数中有 $100$，则命题成立；否则考虑这些数模 $100$ 的余数，根据抽屉原理，必然存在两个数同余，且这两个数不可能为 $a_1,a_2$，此时这两个数的差即为一些数的和为 $100$ 的例子，命题得证． 综上所述，原命题得证．