每日一题[1477]高斯函数

严格递增的正实数数列 $\{x_n\}$ 满足：$x\in\{x_n\}$ 当且仅当 $x+\{x\}^2$ 为整数（其中等式中的 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分），那么这个数列的前 $100$ 项之和是______．

答案    $2475+25\sqrt 5$．

解析    用 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分，则

$$x+\{x\}^2\in\mathbb Z\iff [x]+\{x\}+\{x\}^2\in\mathbb Z\iff \{x\}+\{x\}^2\in\mathbb Z,$$ 而 $$0\leqslant\{x\}+\{x\}^2<2,$$ 于是 $$\{x\}+\{x\}^2=0,1$$ 解得 $$\{x\}=0,\dfrac{\sqrt 5-1}2,$$ 因此所求和为 $$\sum_{k=0}^{49}\left(\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2+k\right)+(k+1)\right)=2475+25\sqrt 5.$$