每日一题[1476]正交点轨迹

在坐标平面内，从原点出发以同一初速度 $v_0$ 和不同发射角（即发射方向与 $x$ 轴轴向之间的夹角）$\alpha$（$\alpha\in [0,\pi]$，$\alpha\ne \dfrac{\pi}2$）射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点．证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程．

解析       以运动时间为参数 $t$，可得抛物线的参数方程为

$$\begin{cases} x=v_0\cos\alpha\cdot t,\\ y=v_0\sin\alpha\cdot t-\dfrac 12gt^2\end{cases}$$ 于是抛物线的方程为 $$\Gamma_\alpha:y=\tan\alpha\cdot x-\dfrac{g(1+\tan^2\alpha)}{2v_0^2}\cdot x^2,$$ 也即 $$\dfrac{gx^2}{2v_0^2}\tan^2\alpha-x\tan\alpha +\dfrac{gx^2}{2v_0^2}+y=0,$$ 设抛物线 $\Gamma_{\alpha_1}$ 与 $\Gamma_{\alpha_2}$ 的交点 $P(x_0,y_0)$ 为正交点，则 $$\begin{cases}\tan\alpha_1+\tan\alpha_2=\dfrac{2v_0^2}{gx_0},\\ \tan\alpha_1\cdot \tan\alpha_2=1+\dfrac{2v_0^2y_0}{gx_0^2},\end{cases}$$ 而根据题意，有 $$\left(\tan\alpha_1-\dfrac{gx_0(1+\tan^2\alpha_1)}{v_0^2}\right)\left(\tan\alpha_2-\dfrac{gx_0(1+\tan^2\alpha_2)}{v_0^2}\right)=-1,$$ 即 $$\left(\dfrac{2y_0}{x_0}-\tan\alpha_1\right)\left(\dfrac{2y_0}{x_0}-\tan\alpha_2\right)=-1,$$ 将韦达定理得到的结果代入，化简可得 $$\dfrac{x_0^2}2+y_0^2-\dfrac{v_0^2y_0}{2g}=0,$$ 于是所求椭圆弧的方程为 $$\dfrac{x^2}{2k^2}+\dfrac{(y-k)^2}{k^2}=1,$$ 其中 $k=\dfrac{v_0^2}{4g}$．