每日一题[1474]分段函数的零点

设函数 $f(x)=\begin{cases}x,&x\geqslant a,\\ x^3-3x,&x<a.\end{cases}$

$(1)$ 若 $f(x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是_______；

$(2)$ 若 $a\leqslant -2$，则满足 $f(x)+f(x-1)>-3$ 的 $x$ 的取值范围是_______．

答案      $\left(-\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$；$(-1,+\infty)$．

解析      $(1)$ 如图可知，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$．

$(2)$ 当 $a\leqslant -2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，令

$$g(x)=f(x)+f(x-1),$$ 则 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增．由于 $g(-1)=-3$，故 $x>-1$．