每日一题[1472]椭圆的参数弦方程

过椭圆 $W:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l_1$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，其中 $A(0,1)$．另一条过 $F_1$ 的直线 $l_2$ 交椭圆于 $C,D$ 两点（不与 $A,B$ 两点重合），且 $D$ 点不与点 $(0,-1)$ 重合．过 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交直线 $AD,BC$ 于 $E,G$．

1、求 $B$ 点坐标和直线 $l_1$ 的方程．

2、求证：$|EF_1|=|GF_1|$．

解析

1、直线 $l_1$ 的方程为 $y=x+1$，联立直线 $l_1$ 与椭圆 $W$ 的方程，可得

$$3x^2+4x=0,$$ 于是 $B\left(-\dfrac 43,-\dfrac 13\right)$．

2、设 $C\left(\sqrt 2\cos 2\theta_1,\sin 2\theta_2\right)$，$D\left(\sqrt 2\cos 2\theta_2,\sin 2\theta_2\right)$，$E(-1,m)$，$G(-1,n)$，则根据椭圆的参数弦方程，可得

$$\tan\theta_1\tan\theta_2=-\left(3+2\sqrt 2\right).$$ 而 $$\begin{cases} \dfrac{m-1}{-1-0}=\dfrac{\sin 2\theta_1-1}{\sqrt 2\cos 2\theta_1 -0},\\ \dfrac{n-\left(-\dfrac 13\right)}{-1-\left(-\dfrac 43\right)}=\dfrac{\sin 2\theta_2-\left(-\dfrac 13\right)}{\sqrt 2\cos 2\theta_2-\left(-\dfrac 43\right)},\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases} m=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \dfrac{1-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_1}+1,\\ n=-\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \dfrac{\left(3-2\sqrt 2\right)\tan^2\theta_2+2\tan\theta_2+\left(3+2\sqrt 2\right)}{\left(3-2\sqrt 2\right)\tan^2\theta_2-\left(3+2\sqrt 2\right)}-1,\end{cases}$$ 将 $$\tan\theta_2=-\dfrac{3+2\sqrt 2}{\tan\theta_1}$$ 代入即得 $$m+n=0,$$ 于是命题得证．