设 m>3,对于有穷数列 {an}(n=1,2,⋯,m),令 bk 为 a1,a2,⋯,ak 中的最大值,称数列 {bn} 为 {an} 的“创新数列”,数列 {bn} 中不相等项的个数称为 {an} 的“创新阶数”.例如数列 2,1,3,7,5 的创新数列为 2,2,3,7,7,创新阶数为 3.
1、考查自然数 1,2,⋯,m(m>3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 {cn}.
2、若 m=5,写出创新数列为 3,4,4,5,5 的所有数列 {cn}. 是否存在数列 {cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列 {cn},若不存在,请说明理由.
3、在创新阶数为 2 的所有数列 {cn} 中,求它们的首项的和.
解析
1、{cn} 形如 3,4,(),5(),因此 {cn} 为 {3,4,3,5,1} 或 {3,4,1,5,2}.
2、情形一 若 {cn} 的创新数列为常数列 k,k,⋯,k,则 k 为数列 {cn} 中的最大项,即k=m,
情形二 若 {cn} 的创新数列为非常数列的等差数列,则数列 {cn} 为单调递增数列,于是 {cn} 为{1,2,3,⋯,m}.
3、情形一 若 {cn} 首项为 1,其创新数列为 1,m,m,m,⋯,于是 {cn} 的个数为0!(m−2)!.
情形二 若 {cn} 首项为 2,其创新数列为 2,m,m,m,⋯⋯ 或 2,2,m,m,⋯⋯.于是 {cn} 的个数为0!(m−2)!+C111!(m−3)!.
情形三 若 {cn} 首项为 k,则 {cn} 的个数为0!(m−2)!+C1k−11!(m−3)!+C2k−12!(m−4)!+⋯+Ck−1k−1(k−1)!(m−k−1)!.
情形四 若 {cn} 首项为 m−1,则 {cn} 的个数为0!(m−2)!+C1m−21!(m−3)!+C2m−22!(m−4)!+⋯+Cm−2m−2(m−2)!0!.