每日一题[1457]创新数列

m>3,对于有穷数列 {an}(n=1,2,,m),令 bka1,a2,,ak 中的最大值,称数列 {bn}{an} 的“创新数列”,数列 {bn} 中不相等项的个数称为 {an} 的“创新阶数”.例如数列 2,1,3,7,5 的创新数列为 2,2,3,7,7,创新阶数为 3

1、考查自然数 1,2,,m(m>3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 {cn}

2、若 m=5,写出创新数列为 3,4,4,5,5 的所有数列 {cn}. 是否存在数列 {cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列 {cn},若不存在,请说明理由.

3、在创新阶数为 2 的所有数列 {cn} 中,求它们的首项的和.

解析

1、{cn} 形如 3,4,(),5(),因此 {cn}{3,4,3,5,1}{3,4,1,5,2}

2、情形一 若 {cn} 的创新数列为常数列 k,k,,k,则 k 为数列 {cn} 中的最大项,即k=m,

于是 {cn}{m,P(1,2,,m1)},
其中 P(1,2,,m1) 表示 1,2,,m1 的任意排列;

情形二 若 {cn} 的创新数列为非常数列的等差数列,则数列 {cn} 为单调递增数列,于是 {cn}{1,2,3,,m}.

3、情形一 若 {cn} 首项为 1,其创新数列为 1,m,m,m,,于是 {cn} 的个数为0!(m2)!.

情形二 若 {cn} 首项为 2,其创新数列为 2,m,m,m,2,2,m,m,.于是 {cn} 的个数为0!(m2)!+C111!(m3)!.

情形三 若 {cn} 首项为 k,则 {cn} 的个数为0!(m2)!+C1k11!(m3)!+C2k12!(m4)!++Ck1k1(k1)!(mk1)!.

情形四 若 {cn} 首项为 m1,则 {cn} 的个数为0!(m2)!+C1m21!(m3)!+C2m22!(m4)!++Cm2m2(m2)!0!.

因此所有首项的和S=(m2)![1+2++(m1)]+(m3)![12+23++(m1)(m2)]++(m2)!=(m2)!(m1)m2+(m3)!(m2)(m1)3++(m1)!=m!(12+13++1m).

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