每日一题[1452]向量视角

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．已知 $c=2\sqrt 5$，且 $2a\sin C\cos B=a\sin A-b\sin B+\dfrac{\sqrt 5}2b\sin C$，点 $O$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，$\cos \angle CAO=\dfrac 38$，则 $\triangle ABC$ 的面积为( )

A．$\dfrac{\sqrt{55}}3$

B．$3\sqrt 5$

C．$5\sqrt 2$

D．$\sqrt{55}$

答案 D．

解析 根据正弦定理，题中条件转化为

$$2ac\cos B=a^2-b^2+\dfrac{\sqrt 5}2bc,$$ 再由余弦定理，可得 $$2ac\cdot \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=a^2-b^2+\dfrac{\sqrt 5}2bc,$$ 整理得 $$\dfrac cb=\dfrac{\sqrt 5}2.$$ 考虑到 $$\overrightarrow{AO}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC},$$ 而 $$\cos\angle CAO=\langle \overrightarrow{AO},\overrightarrow{AC}\rangle,$$ 于是 $$\overrightarrow{AC}\cdot\left(\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}\right)=\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \left|\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos\angle CAO,$$ 即 $$\dfrac 13bc\cos A+\dfrac 13b^2=b\cdot \sqrt{\dfrac 19b^2+\dfrac 19c^2+\dfrac 29bc\cos A}\cdot \dfrac 38,$$ 结合 $\dfrac cb=\dfrac{\sqrt 5}2$，解得 $$\cos A=-\dfrac{\sqrt{5}}4,$$ $\triangle ABC$ 的面积 $$S=\dfrac 12bc\sin \angle BAC=\dfrac 12\cdot 4\cdot 2\sqrt 5\cdot \dfrac{\sqrt{11}}4=\sqrt{55}.$$