每日一题[1451]极值点偏移

已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12ax^2-x$（$a\in\mathbb R$）．
1、若曲线 $y=f(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处切线的斜率为 $-1$，求此切线的方程．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，求 $a$ 的取值范围，并证明：$x_1x_2>x_1+x_2$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=-ax+\ln x,\]于是\[f'({\rm e})=-a{\rm e}+1=-1,\]解得\[a=\dfrac 2{\rm e},\]进而\[f({\rm e})=-{\rm e},\]因此所求切线方程为 $y=-x$．

2、若函数 $f(x)$ 有两个极值点，则 $f'(x)$ 有两个变号零点．考虑方程\[a=\dfrac{\ln x}x,\]对于右侧函数（记为 $g(x)$）有\[\begin{array} {c|ccccc}\hline x&0+&\left(0,{\rm e}\right)&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&{\rm e}^{-1}&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]因此 $a$ 的取值范围是 $\left(0,{\rm e}^{-1}\right)$．题中欲证结论即\[\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_2}<1,\]据此将 $g(x)$ 变形为\[g(x)=-\dfrac 1x\ln \dfrac 1x,\]因此问题转化为新问题

已知函数 $h(x)=-x\ln x$ 与直线 $y=a$ 有两个公共点，横坐标分别为 $x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2<1$．

不妨设 $0<x_1<x_2<1$．考虑函数 $\varphi(x)=x(x-1)$，有\[\dfrac{h(x)}{\varphi(x)}=\dfrac{\ln x}{1-x},\]记该函数为 $\mu(x)$，则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{-\ln \dfrac 1x+\dfrac 1x-1}{(x-1)^2}>0,\]于是 $\mu(x)$ 单调递增，从而\[\dfrac{\ln x_1}{1-x_1}<\dfrac{\ln x_2}{1-x_2},\]从而\[\dfrac{-x_1\ln x_1}{x_1(1-x_1)}>\dfrac{-x_2\ln x_2}{x_2(1-x_2)},\]即\[x_1(1-x_1)<x_2(1-x_2),\]也即\[(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)>0\iff x_1+x_2<1,\]命题得证．